عزيزي الطالب ،، يعتبر هذا الدرس من أهم مواضيع الرياضيات ، لأنك لاتستطيع التعامل مع الدوال الحقيقية دون أن تعرف مجالها ، لذا سأورد لك مختصر مفيد لكيفية إيجاد مجال الدالة الحقيقية .
1- دالة كثيرة الحدود : د (س) = أ ن س ن + أ ن - 1 س ن - 1 + . . . . + أ 2 س 2 + أس + أ ( لكل عدد حقيقي س ) .
أ ن ، أن - 1 ، .... ، أ هي ثوابت ، (أ ن # 0) ، ن تنتمي لمجموعة الأعداد الكلية ك
المجال = ح
2 - الدالة الكسرية : معرفة بشرط أن المقام # 0 ، المجال = ح - {أصفار المقام} .
3- دالة الجذر التربيعي : هناك حالتان :
- الجذر في البسط : نجعل ماتحت الجذر ≥ 0 ونستنتج منه المجال .
- الجذر في المقام : هناك حالتان أيضا :
* جذر وحيد في المقام : نجعل ما تحت الجذر > 0
* جذر وكمية أ خرى : نجعل ما تحت الجذر ≥ 0 ، المقام كله # 0 .
4- دالة الجذر الذي دليله عدد فردي : معرفة لكل س تنتمي لـ ح ، المجال = ح .
5- دالة القياس : د(س) = |س| ، لكل س تنتمي لـ ح ، مجالها = ح .
6- الدالة الدرجية : د(س) = [س] ، لكل س تنتمي لـ ح .
لاحظ أن الدالة الدرجية تقرأ صحيح س حيث [س] : ن ≤ س < ن + 1 ، ن عدد صحيح .






ج(1) : كلا الدالتان مجالهما = ح .
ج(2) : شرط التعريف س- 2 # 0 ، ← س # 2 ، ← المجال = ح - {2} .
ج(3) : الدالة معرفة بشرط : س2 - س - 6 # 0 ، ← (س - 3) (س + 2) # 0 .
← س # 3 ، س # -2 ، أي أن مجال الدالة هو : ح - {3 ، -2} .
ج(4) : الدالة معرفة بشرط : 2س - 3 > 0 ← س > 2/3 ، إذن المجال هو : ]2/3 ، ∞[
ج(5) : شرط تعريف الدالة هو : س + 1 ≥ 0 و جذر(س + 1) - 2 # 0 ، أي أن :
س ≥ -1 و س # 3 ← المجال هو : [-1 ، ∞[ - {3} .

تعريف الدوالة القابلة للقياس

Measurable Function


تعريف1: لتكن E مجموعة قابلة للقياس في X ولتكن دالة من E إلى فضاء تبولوجي Y. نقول أن f قابلة للقياس measurable (أو-قابلة للقياس) إذا كانت قابلة للقياس في X لكل مجموعة مفتوحة U في Y. إذا كان فضاء قابل للقياس فإن نستخدم الترميز للإشارة إلى تجمع كل الدوال والقابلة للقياس وفق سيجما الجبرة .

هذا التعريف لقابلية القياس تجريدي جدا لذلك قلما يستخدم عندما نتعامل مع فضاء غني بالخصائص مثل فضاء الأعداد الحقيقية أو المركبة. لذلك سنقدم المعيار البديل أو بالأصح سنقدم نسخة من هذا التعريف أكثر ملائمة وأقل تجريدا حينما نناقش الدوال الحقيقية الممتدة القابلة للقياس والدوال المركبة القابلة للقياس.
حقيقة2: إذا كانت قابلة للقياس و دالة متصلة فإن قابلة للقياس, أي أن الدالة المتصلة لدالة قابلة للقياس هي دالة قابلة للقياس.
البرهان: لتكن U مجموعة مفتوحة في Z. بما أن g متصلة, إذا مفتوحة في Y. وبما أن f قابلة للقياس فإن المجموعة قابلة للقياس. ولكن


إذا دالة قابلة للقياس.
مبرهنة3: ليكن فضاء قابل للقياس. إذا كان كلا من دالة حقيقية قابلة للقياس معرفة على X وكانت دالة متصلة من المستوى إلى فضاء تبولوجي Y عندئذ الدالة

قابلة للقياس.
البرهان: اجعل إذا وبموجب الحقيقية2 يكفي إثبات أن f قابلة للقياس. افرض أن U مجموعة مفتوحة في المستوي. إذا U اتحاد قابل للعد لمستطيلات من الشكل

حيث فترات مفتوحة. (لاحظ عبارة عن مستطيل مفتوح أضلاعه توازي محوري المستوى). إذا


بما أن u,v قابلتين للقياس فإن قابلة للقياس لكل صحيح موجب n باعتبارها تقاطع مجموعتين قابلة للقياس وبالتالي قابلة للقياس لكونها إتحاد عدود (قابل للعد) لمجموعات قابلة للقياس. إذا f قابلة للقياس.

www.mathramz.com/math/measurable_function - 41k
من هنا منتدى كامل عن الرياضيات شارك يمكن تستفيد

اتمنى تكون حصلت الاجابة واستفدت

اهم شي طلبك